Ćwiczenie odbywa się w sali 303

REZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY

Wstęp

Rezonans napięć

Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, że przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie , zwanej częstotliwością rezonansową, napięcie na cewce oraz na kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma jest równa zero. Jeśli szeregowy obwód RLC (rys. 1) zasilany jest ze źródła napięciowego sinusoidalnego

(1)

to prąd płynący w obwodzie ma charakter sinusoidalny

(2)

Prąd zespolony wyraża się stosunkiem napięcia zespolonego do impedancji obwodu

(3)

W zależności od częstotliwości źródła przeważa w obwodzie reaktancja indukcyjna lub reaktancja pojemnościowa lub obie te reaktancje są sobie równe (rys. 2). Właśnie ten przypadek

(4)

natomiast

(5)

Impedancja obwodu rezonansowego wynosi:

(6)

czyli w stanie rezonansu dwójnik szeregowy składający się z elementów RLC ma charakter rezystancyjny (współczynnik mocy . Wartość skuteczna prądu płynącego w obwodzie zależy jedynie od rezystancji i osiąga maksimum . Napięcie na cewce wynosi:

(7)

a na kondensatorze

(8)

Z równości reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej wynika dla obwodu szeregowego RLC równość modułów napięć na cewce i kondensatorze

Wartości chwilowe napięć na kondensatorze i na cewce są przesunięte w fazie o kąt . W stanie rezonansu całkowicie się kompensują, czyli napięcie zasilające (patrz rys. 1).

Wartości chwilowe energii nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora oraz nagromadzonej w polu magnetycznym cewki dla częstotliwości (pulsacji) rezonansowej wynoszą:

(9)

(10)

Energia nagromadzona w układzie jest wielkością stałą i wynosi:

(11)

W stanie rezonansu występuje odwracalny proces zamiany co ćwierć okresu energii pola magnetycznego cewki w energię pola elektrycznego kondensatora i odwrotnie. Stąd częstotliwość drgań energii w każdym z elementów jest dwa razy większa od częstotliwości napięcia źródłowego. W ciągu jednego okresu opornik pobiera ze źródła energię . W procesie nie bierze udziału ani cewka ani kondensator.

W obwodach rezonansowych wykorzystuje się pojęcie dobroci. Dobroć cewki w stanie rezonansu jest równa dobroci kondensatora . Dobroć całego układu wynosi . Zależność prądu zespolonego od częstotliwości przedstawia się następująco:

(12)

a dla częstotliwości rezonansowej

(13)

Stosunek tych dwóch prądów wynosi

(14)

gdzie:

- pulsacja względna

Szerokość pasma określa przedział pulsacji (częstotliwości), w którym wartość zespolonego prądu względnego nie zmniejsza się poniżej wartości .

Stąd

(15)

gdzie:

, - pulsacje, dla których

(16)

Zależność zespolonego napięcia względnego na cewce od częstotliwości

(17)

i analogicznie

(18)

(19)

Dla ,

co jest zgodne z definicją dobroci.

Z charakterystyk częstotliwościowych zespolonego prądu względnego można odczytać, że gdy zwiększa się dobroć, pasmo przepuszczania maleje, charakterystyka jest coraz bardziej stroma (rys. 4), czyli selektywność jest większa.

Od wartości dobroci w sposób wprost proporcjonalny zależą wartości napięć występujących na cewce i kondensatorze. Napięcia te przy dużej dobroci obwodu są większe od napięcia zasilania

(20)

Są to tzw. przepięcia.

W obwodach bardziej złożonych niż gałąź szeregowa RLC warunkiem rezonansu napięć jest znikanie reaktancji gałęzi

Zgałęzi = Rgałęzi + jXgałęzi = R

(21)

Z warunku Xgałęzi=0 można wyznaczyć częstotliwość rezonansową. Z analizy wykresu wektorowego wykonanego dla obwodu wynika które napięcia się kompensują (są w rezonansie).

Występujące w układach elektroenergetycznych nieprzewidziane zjawisko rezonansu napięć stanowi poważne niebezpieczeństwo przebicia izolacji układów. Szeregowe obwody rezonansowe wykorzystane są natomiast jako filtry selektywne, wydzielające wśród sygnałów elektrycznych o różnych częstotliwościach sygnały o częstotliwościach pożądanych.

Rezonans prądów

Zjawisko rezonansu prądów występuje w gałęzi równoległej GCL i polega na tym, że przy określonej częstotliwości , zwanej częstotliwością rezonansową, prąd płynący przez kondensator oraz płynący przez cewkę mają równe amplitudy, lecz przeciwne fazy, wobec czego ich suma jest równa zero.

Jeśli równoległy obwód GLC zasilany jest ze źródła prądu sinusoidalnego , to odpowiedzią jest napięcie sinusoidalne , któremu odpowiada wartość zespolona

(22)

W zależności od częstotliwości źródła przeważa w obwodzie susceptancja indukcyjna lub susceptancja pojemnościowa albo, jak w rezonansie, obie te susceptancje są sobie równe (rys. 6). Dla częstotliwości

(24)

admitancja obwodu wynosi

(25)

czyli obwód ma charakter rezystancyjny (współczynnik mocy ), a więc prąd jest w fazie z napięciem . Napięcie to osiąga wartość największą

w porównaniu z wartościami skutecznymi napięć przy częstotliwościach poza rezonansowych.

Wartości chwilowe energii nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora oraz nagromadzonej w polu magnetycznym cewki dla częstotliwości rezonansowej wynoszą:

Suma tych energii stanowiąca energię nagromadzoną w układzie jest w każdej chwili wartością stałą i wynosi

Następuje tu proces odwracalny zamiany co ćwierć okresu energii zgromadzonej w polu elektrycznym kondensatora w energię pola magnetycznego cewki i odwrotnie, przy czym w tym procesie wymiany energii ani źródło, ani rezystancja nie biorą udziału. Źródło natomiast wydaje energię z mocą czynną , którą pobiera opornik w ciągu okresu . Opornik pobiera energię

Dobroć układu równoległego GCL w stanie rezonansu prądów wynosi

Ponieważ równoległy obwód rezonansowy GCL jest dualny z szeregowym obwodem RLC, to charakterystyki częstotliwościowe są dualne do poprzednich i przyjmują kształt jak na rys. 7. Dobroć układu równoległego można więc wyznaczyć graficznie w sposób analogiczny jak w przypadku obwodu szeregowego (patrz punkt 1.1). W układach złożonych częstotliwości, przy której występuje rezonans prądów, wylicza się z warunków znikania urojonej części admitancji gałęzi Bgałęzi=0.

Ygałęzi = Ggałęzi + jBgałęzi = Ggałęzi

Rezonans prądów podobnie jak rezonans napięć może przedstawiać pewne niebezpieczeństwo dla obwodu, gdyż wartości prądów i mogą być znaczne. Zjawisko rezonansu prądów wykorzystuje się w elektroenergetyce do pełnej kompensacji mocy biernej odbiornika. W radiotechnice obwody rezonansowe LC wykorzystuje się jako filtry dla prądów o określonej częstotliwości oraz jako część składową wzmacniaczy rezonansowych.

Pomiary

  1. Badanie rezonansu napięć
  2. Zestawić układ pomiarowy zgodnie z rys. 8

    Kontrolując stałość napięcia wyjściowego generatora wyznaczyć zależności wartości skutecznych napięć na elementach L, C i LC w funkcji częstotliwości. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.

    TABELA 1

    Lp.

  3. Badanie rezonansu prądów
  4. Zestawić układ pomiarowy wg rys. 9.

    Kontrolując stałość prądu zasilania (wymuszenie prądowe) należy wyznaczyć zależności: , , , . Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 2.

    TABELA 2

    Lp.

    Następnie kontrolując stałość napięcia zasilania (wymuszenie napięciowe) wyznaczyć charakterystyki: , , , ; wyniki pomiarów umieścić w tabeli 3.

    TABELA 3

    Lp.

Zakres sprawozdania

  1. dla rezonansu napięć
  2. , , ,

  3. dla rezonansu prądów

przy wymuszeniu prądowym

, , ,

przy wymuszeniu napięciowym

, , ,

LITERATURA:

  1. Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna. Teoria obwodów elektrycznych, t. 1., wyd. III, WNT Warszawa 1986
  2. Mikołajuk K., Trzaska Z.: Elektrotechnika teoretyczna. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych, PWN, Warszawa 1984

Stanowisko laboratoryjne do ćwiczenia Rezonans

Aby powiększyć zdjęcie kliknij na nim